下面是小编为大家收集的利用定义来计算函数的定积分，本文共5篇，仅供参考，欢迎大家阅读，希望可以帮助到有需要的朋友。
篇1：利用定义来计算函数的定积分
◆王 茜 刘 光 荣
（ 空军工程大学理学院应用数学物理系）
【 摘要】定积分的概念 是用极 限来 定义的 ， 有很 强的 思想性。用 定
义 计 算 定积 分 是 教 学 中的 一 个 难 点 。 这 里 给 出 用 定 义 计 算 定 积 分 的 方 法 和 步骤 ， 举例 说 明借 助 定 义 来计 算 的 函数 类 型 ， 即幂 函 数 ； 指
数 函数 ； 角函 数 。 三
解
…于函数＿ ： Cab ，I f ：． 区间 l，】 厂 ） E l l ） r （ t j l 在 口6上可积 。 所
，
以将 区 间 l6 等 分 。分 点 为 口 （一 ）f 1， n ， 小 区 间 a ， ＋ 6 n （＝ ，…，） 2
＾
【 关键 词 】定 积 分
幂 函数
指 数 函数
三 角 函数
l＋ （一 ） n 6 口
，
＋
k（ ‘b
―
nI 长度 ： ）的
，取 小区 问 的右端 点
在 初 学 定 积 分 的 概 念 与 性 质 之 后 ， 没 有 学习微 积 分 基 本 公 还 式 时 ， 们 遇 到 了定 积 分 的计 算 问题 ， 取 的 方 法 使 用 定 义 和 几 何 我 采
＋（ n 于 r ：m ba ＋（ 训 ， 是 百 －―， l￣ ― i 一
＝
意义来计算 ， 而利用几何 意义求 定积 分要求必 须是 特殊 的曲边梯 形 ， 如是 圆 ， 例 三角形 等 ， 即必须是可利用公 式求 出图形 的面积的 ； 或是关于原点对称的区 间上的被 积 函数 是奇 函数 的积分 ， 结果 为 零 。利用定积分的定义解 题过程 有一定 的模式 ， 面临一 个和式 要 的极限来处理 ， 本文就是 来 明确 一下 用定 义计算定 积分 的函数 的
类型 。 1用定 义计 算 定积 分 的方 法 和 步 骤
定积 分”的概念 是 由极限运 算 定义 的，它是 一 I 个和 式的 极限 ，即
（ 6 n＋ （
：（ b－a） （ 口＋ 一口 ＝Ib ＿ ） 21
2 2
例 用 义 算 积 x 2利 定 计 定 分f d ．
解 ｝ 于 函数 ， x ＝ co 1 则 ， ： I 1 （） x ∈ I 1， ， （ ） 在 区问 I q ． 积 。 O k￣ ， T 所 以将 区问 I l 等分 ，分 点 为 （： ， …，） o ＇ f 1 ， ，小区 间 I ， 的长 2
r ＝ 喜 － ， ， （ ）
其 中 ， ： a｛ ， ： ｝ mx ， ， ￣ …， 。定 义中 对积分 区间 l b分划 的任 口 1 ， 意性 与 小 区 间 I A ， I 选 取 点 蟊 f 1 ， 一 的任 意性 有 很 强 的思 － h （＝ ， …，） 2
度
＝ 三 ， 取 小 区 间 的 右 端 点 二 ， 于 是
H ＾
f ：喜 ＝
喜 x （ 1
： I ― n＋ i ． m （
― ― ― ―
想 性和 包 容性 。但 是在可 积 的情况 下 ，可 以选 取特 殊 的分法 与取 法 ：
一
2 ） I ： ．n ＋ 1 X ―
― ― 一
1
一
：
＿坩 ―
6
3
3用定义计算指数函数 和三角函数 的定积分
等 区 【 l按 积 的 义 有r（ …百ba（。 分 间 ， 定 分 定 ， ，） l￣ －， ） 6 i出＝m
可 取 小 区 问 ， l 左 端 点 ＋ 的 （一 ） 右 端 点 6 或
借助下面的等 比数列求和公式可求某些指数函数的定积分 ：
口＋唧 ＋． ＋卵 一 ： ． ．
J～ 口
其中 ，
（ g≠l 】
口 ＋
三（ 一口 。 6 ）
J l
例 用 义 算 积 ． 3利 定 计 定 分f 出
解 由 于函数 ，（） E ab ，则 ， e 在 区问 【，l 可积 。 ；E Cl，l （） x 口b上 所 以将 区 间 【，l 分 ， 分点 为 口 ’b ）f 2…，） 小区 问 口b n等 ＋i（一口 （：1 ， 月 ，
，
这样我们用定义来 计算定 积分 的话 ， 一般有 下 面的解题 格式
与 步骤 ：
首先 ， 由可积 的充 分条件 判断 函数可 积。如果被 积 函数 是连 续 函数 的话 ， 那么 函数可 积 ； 如果有 有 限个 间断 点的话 ， 由积分 则 的可加性 ， 将其转化为几个连续 函数积分 的和 。 其次， 由函数可 积想到定 积分与分 法 、取法无关 ， 而选取特 从 殊的分法 ： 区间等分 ； 将 特殊 的取法 ： 小区间的左端点或右端点。 第三 ， 将定积分写成一个特定和式 的极 限 ， 用已知 的求 和公 利
：
＋
H
（一 ）n （一 ）的长 度 A ， b― 6 口， ＋ 6 口I x ＝― a，取小 区问 的右端 点 －
n 月
。＋
i－ lpx… （ 卜r a 足 dl H ” o ＝喜 i a r 。 鬲
l i m
…
式求和 ， 求和是关键 ， 也是难点。
（ 一P ） 1
＝ e 一 ￡ 。
最后 ， 求数列极 限 ， 得出定积分的值 。
篇2：利用定义来计算函数的定积分
观 在令 酊的等 比数列求和 公式 中的 ：1 ， 口：厶其中 ： 是复数且
z w：cs ＋ii0， 贝 对 于 ： ＋ ． － z ＝e 。8 s n 0 ＋z ． ＋： ；― ． O
－
借助下面的求和公式可求某些幂函数的定积分 ：
1 ＋． ＋＾： ！ ＋2 ． ． ±！
．
z
―
＇ ）
＿－
一
i一 ：
i＋ z ．＋ ± ！ ！ 2＋ ． n ：！ ± 1 z ． ！
6
艄 慨 娜
黼
对 于 任 意 给 定 的 自然 数 k， ＋ …＋
求 法 ， 参 考 文 献 1 2＋ 一 的 可 2 ． l ［1 ， 例 l 利用 定义 计算定 积分
10 2
cO? ÷― oS?口＋― s2＋＝竽告 80 ÷―一 ＋…O一― C ― C S ＋玎
。 咖 ． c 一s 1 o ． ） t c 8 詈o＋ （
xx d．
例 利 定 汁 定 分io k 4 用 义 筇 积 ‘s ． c捌
可得 t＝ ＝ 以到 e 善 ￣ d x i … m
2 （ 一e ”、n1
＝ ＝ ? 一 ＋
由：数 ＝s c，， f）O 区 I L 两边 分别 取实部 r ， ／）c e［ Jl CX 问o 町 函 o o ） （＝S x 三1 ！ J ＇
积 。 所 以将 区 间 I，＂ 等 分 ， 分 点 为 （＝1 ， n ， 小 区 间 O／ 1 f ， …，） 2
Z
可得 zox x I sd ＝ ， s xx＝ ． c i d 1 n
总 之 ， 用 定 积 分 定 义 可 求 部 分 函数 的 定 积 分 ， 们 要 面 临 一 利 我
l 型
，
嘉的 度 寺 取 区 的 端 ， l长 ＝ ， 小 问 右 点 j 是
c。 s ＝
个 复杂的和式极 限的'处理 ， 于是 我们 学习简便 而有效 地计算 定积 分 的方 法― ― 牛 顿 莱 布 尼 兹 公 式 。另 一 方 面 ， 们 又 可 以用 定 义 我
求 一类 无限和的极限或数列极 限 。
参考文献 ：
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喜o … c 云 c l s i r a 喜
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警 － ： t
：1 ．
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列 我们 也可 以计 钾＝ii n s
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解
先计 算 i ￣ ， ed x，其 中f 为虚数 单位 。 取 与例 3类似 的过
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阳师 范 学 院 学 报 ，0 0 9 3 ：1 9 ． 2 1 ，（ ）9 ― 3
（ 上接第 15页） ． 1 2 产业结构不合理 ， 社会治安差 城 中村的出现 ， 使得一些贪 图享乐 的村 民依赖 出租房屋 、土地 补偿款 、资产分红来获得收益 ， 日游手好闲 ， 整 无所事 事 ， 重了村 加
面投 入 改造 的积 极性 。 4 加 强 村 民 素质 教育 ， 高 工 作 技 能 ． 提
村 民整体素质 的
高低 与否严 重影响到城中村改造能否成 功的 由于城市产业结构的调整 ， 劳动力素质的要求也在逐 E提 对 l 民的惰性 ， 如此发展下去 既阻碍 了村集体 的发展 又阻碍 了村 民个 进行 ，
人 的发展。同时 ， 由于城 中村提供 了大量 的出租房屋 ， 由此 外来暂 高 。村 民不仅要提高 文化素质 和思想 观念 ， 还要 进行新 的培训 和 教育 ， 获得谋生的手段和技 能 ， 已适应 城市 的经济 活动 ， 更新 就业 住人员和流动人 口将城 中村作 为 了“ 聚集地 ” 。随之 带来 了一系
列不安定因素 ， 性事件 也频频 发生 ， 得治 安形式 越来 越严 峻 ， 观 念 。 恶 使 社 会 环 境 日趋 恶 化 。 3 人 口密 度 过 高 ， 口素 质 较 低 ． 人
5 创 新 改 造 模 式 ， 寻 新 的 发 展 道 路 ． 探
通 过 借 鉴 广 州 、海 、圳 等 一 些 地 方 的改 造 模 式 ， 取 经 验 珠 深 吸
由 于 户籍 制 度 和城 市 住 房 制 度 的 限 制 ， 来 人 口 只 能 将 租 赁 教 训 。要 努 力 探 索 这 几 种 改造 模 式 的 优 缺 点 ， 具 体 分 析 各 个 城 外 在
房屋作为其解决住房 方式 的途径 ， 同时城 中村 的房屋租 赁价格 普 中村特点 、主要问题及形成机制 的基础上 ， 活采用 改造模式 ， 灵 实 城郊 结合 部 的村 遍低 于城市商 品房 的价 格 ， 因此大量 的外来 人员高度 集 中于城 中 现多赢 。同时政府要 加强 引导 ，鼓励 有条 件 的、村 。加 之 村 民 的思 想 道 德 陈 旧 ， 念 落 后 ， 化 程 度 低 ， 城 中 村 集 体 经 济 组 织 参 与 改 造 和 自行 改 造 。通 过 改 造 实 现 居 民城 市 化 ， 观 文 给
的精 神 文 明建 设 带 来 了 困境 。 五 、中 村 改 造 的措 施 城
使得村 民变为真正意义上 的市 民 ， 享受市 民拥有 的待遇 ， 使得城 中 村的改造顺应城市化 的发展进程 ， 筹城乡发展 ， 步推进城 乡一 统 稳
体化。
参考文献 ：
1 调整城市总体规划 ， ． 制定详 细 目标 调整城市总体规划 ， 应对建成 区和城 中村 地 区的建设 做到 统
一
规 划 管 理 ， 分 考 虑 城 市 用 地 功 能 、础 设 施 发 展 水平， 定 城 充 基 确
市基础设施 布局合理 ， 统筹安排公共设施 ， 解决外来人 口的生活和 居 住 空 间 需 求 。 把城 中 村 的 改 造 与 城 市 的 规 划 合 理 的结 合 起 来 ，
在 建设 的过 程 中要 规 范 建 设 行 为 ，各 级 政 府 职 能 部 门积 极 配 合 ， 相 互协 调 ， 强 工 程 监 管 ，防止 新 的城 中村 和 违 章 建 筑 的 出 现 。 加 2 提 高 认 识 ， 化 理 念 ． 深
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国房 地 产 ， 0 ， 2 ． 2 6（） 0
大力宣传整治改 造城 中村 的意义 、原则 和方 法 ， 广 大市 民 使
和城 中村 的村 民了解城 中村 问题 的危 害 ， 强城 市意识 ， 增 要加 大 行政推动力度 ， 强宣传教育 ， 一步提 高人 民群众 对城 中村 改 加 进
造 重 要 意 义 的认 识 ，切 实 消 除 村 民思 想 顾 虑 ， 城 市 化 进 程 的 不 为
［ ］ 素英． 5金 城市化进程 中的“ 中村” 城 现象探 讨［ ］ J ．绿色大
世 界 ? 色科 技 ，0 9 （7 绿 2 0 ， ）．
断加快打下牢 固的思想基础 。
3保障各方利益 ， 动各方积极性 ． 调 在 城 中 村 的 改 造 过 程 中要 切 实 维 护 人 民 群 众 的 利 益 ，充 分 考
6 贾康 ， 孙洁． 新农村基础设施建 设 中 P P模式 的应用［ ］ P J．
地 方 财 政 研 究 ，0 6 （ ） 20 ，5 ．
虑他们的生活需求。城中村 的改造 ， 要实 现户 籍制 度 、土地管 理 、 行 政 体 制 、济 组 织 、活 活 动 等 方 面 的 完 全 转 变 ， 正 实 现 城 市 经 生 真 化。通过立法来保 证集 体财产 和个人 财产不 受到损 害 ， 在土地 收 益的分配上尽 可能 的对村 民和投资 方让利 ， 动村 民和社会 两方 调
7 鞠睛江 ， 庞敏． 基础设施 对农村 经济发展 的作 用机制分 析
经 济 体 制 改革 ，0 5 （ ） J． 20 ，4 ．
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首 都 经 济 贸易 大 学 学报 ，0 8 （ ） 20 ， 1 ．
1 1 镬 2
篇3：定积分计算详细步骤
分析积分区间是否关于原点对称，即为[-a,a]，如果是，则考虑被积函数的整体或者经过加减拆项后的部分是否具有奇偶性，如果有，则考虑使用“偶倍奇零”性质简化定积分计算。
考虑被积函数是否具有周期性，如果是周期函数，考虑积分区间的长度是否为周期的整数倍，如果是，则利用周期函数的定积分在任一周期长度的区间上的定积分相等的结论简化积分计算。
考察被积函数是否可以转换为“反对幂指三”五类基本函数中两个类型函数的'乘积，或者是否包含有正整数n参数，或者包含有抽象函数的导数乘项，如果是，可考虑使用定积分的分部积分法计算定积分。
考察被积函数是否包含有特定结构的函数，比如根号下有平方和、或者平方差（或者可以转换为两项的平和或差的结构），是否有一次根式，对于有理式是否分母次数比分子次数高2次以上；是否包含有指数函数或对数函数，对于具有这样结构的积分，考虑使用三角代换、根式代换、倒代换或指数、对数代换等；换元的函数一般选取严格单调函数；与不定积分不同的是，在变量换元后，定积分的上下限必须转换为新的积分变量的范围，依据为：上限对上限、下限对下限；并且换元后直接计算出关于新变量的定积分即为最终结果，不再需要逆变换换元！
篇4：浅析反常积分与定积分的定义与性质
浅析反常积分与定积分的定义与性质
刘汉兵1，刘树兵2
（1.中国地质大学（武汉） 数理学院，湖北武汉430074；2.湖北省鄂州市第二中学，湖北鄂州436001）
摘要：积分学是微积分理论中的一个重要部分。一元函数的积分学主要包括定积分和反常积分两大类。这两类积分各自具备一些性质，而这些性质常常被拿来相互比较。本文将从定义出发，结合一些反例，深入剖析定积分和反常积分的性质差异及其原因。
关键词：反常积分与定积分；性质差异；定义
作者简介：刘汉兵（1985-），男（汉族），湖北鄂州人，博士，讲师，研究方向：微分方程的最优控制理论；刘树兵（1982-），男（汉族），湖北鄂州人，本科，高中教师，研究方向：数学教学教育。
积分学是微积分理论中的一个重要组成部分。一元函数的积分学主要包括定积分和反常积分两大类，反常积分又包含了无穷积分与瑕积分，它们可以看作是定积分的推广，是定积分的某种意义下的极限形式。粗略来看，反常积分是更为一般的积分，定积分作为更为特殊的积分，应该具备反常积分所具备的性质。但是在这部分内容的学习过程中，可以看到反常积分与定积分的一些性质有所区别，甚至从表面上看，反常积分的一些性质，定积分并不具备。本文将从定义出发，剖析这些性质的差异及其原因，以更加准确深刻的理解定积分和反常积分的异同。
一、无穷积分与定积分的`定义与性质
我们知道对于无穷积分，有如下的一个重要性质。
这显然是不合情理的，因为无穷积分是定积分的推广，定积分是更为特殊的积分。仔细分析会发现，上述两个命题中第二个命题即为定理2的结论，是真命题，而命题一看似定理1的结论，但是它与定理1的描述相比，去掉了一个非常重要的条件：“f在任何有限区间[a，u]上可积”，所以命题一是错误的。实际上，我们上述定义的函数E（x）可以更直接的说明命题一是不对
从定理的证明我们也可以进一步认识到A、B两部分内容的差异对定理结论的影响。定理1的两个证明都是围绕积分上限趋于正无穷时，变上限积分极限的存在性展开的，而定理2的证明则是依赖于有限区间上的可积性定理，即证明当划分足够细时，Daboux大和与Daboux小和收敛到同一个极限，这是完全不同的两个对象。另一方面，我们从证明里面看到，定理1确实是依赖于条件A的。在定理1的证明里，我们用到了f（x）在任一有限区间上的定积分，如果没有条件A，这些定积分是不存在的，这也说明了为什么不能运用定理1的证明方法得到定积分的类似性质。
从以上的分析我们可以看到反常积分的一些性质，()特别是基于条件A的一些变限积分极限的收敛性质不能简单的从表面形式上与定积分的可积性质进行比较，更不能因此错误的认为反常积分具有定积分所不具备的性质。定理1和定理2所表述的是两个毫不相关的对象的性质，把它们进行比较没有实质的意义，反而容易产生认知上的混淆。
二、瑕积分与定积分的定义与性质
瑕积分的定义与无穷积分有类似的特点。
从以上的论述我们可以认识到，不论是无穷积分还是瑕积分，它们都是定积分的推广。这两类积分的收敛性首先都要以某类有限区间上的可积性为前提，其次是要求积分上（下）限在某一趋势下的变限积分的极限存在。反常积分的一些性质，形式上看起来可以与定积分的某些性质进行比较，但是实际上这种比较是非常牵强的，甚至会混淆概念、模糊认知，因此，应该从定义出发，区分这些性质的异同，理解背后本质的原因，更加准确深刻地理解反常积分和定积分。
参考文献：
[1]华东师范大学数学系。数学分析[M].北京：高等教育出版社，.
[2]同济大学数学教研室。高等数学[M].北京：高等教育出版社，.
篇5：浅析反常积分与定积分的定义与性质
浅析反常积分与定积分的定义与性质
摘要：积分学是微积分理论中的一个重要部分。一元函数的积分学主要包括定积分和反常积分两大类。这两类积分各自具备一些性质，而这些性质常常被拿来相互比较。本文将从定义出发，结合一些反例，深入剖析定积分和反常积分的性质差异及其原因。
关键词：反常积分与定积分;性质差异;定义
积分学是微积分理论中的一个重要组成部分。一元函数的积分学主要包括定积分和反常积分两大类，反常积分又包含了无穷积分与瑕积分，它们可以看作是定积分的推广，是定积分的某种意义下的极限形式。粗略来看，反常积分是更为一般的积分，定积分作为更为特殊的`积分，应该具备反常积分所具备的性质。但是在这部分内容的学习过程中，可以看到反常积分与定积分的一些性质有所区别，甚至从表面上看，反常积分的一些性质，定积分并不具备。本文将从定义出发，剖析这些性质的差异及其原因，以更加准确深刻的理解定积分和反常积分的异同。
一、无穷积分与定积分的定义与性质
我们知道对于无穷积分，有如下的一个重要性质。
dx存在与否的一个性质。而定理2讨论的是有限区间上的可积性，即内容A，它与内容B是完全不同的两个对象，得到的结论有所不同是自然的。
从定理的证明我们也可以进一步认识到A、B两部分内容的差异对定理结论的影响。定理1的两个证明都是围绕积分上限趋于正无穷时，变上限积分极限的存在性展开的，而定理2的证明则是依赖于有限区间上的可积性定理，即证明当划分足够细时，Daboux大和与Daboux小和收敛到同一个极限，这是完全不同的两个对象。另一方面，我们从证明里面看到，定理1确实是依赖于条件A的。在定理1的证明里，我们用到了f(x)在任一有限区间上的定积分，如果没有条件A，这些定积分是不存在的，这也说明了为什么不能运用定理1的证明方法得到定积分的类似性质。
从以上的分析我们可以看到反常积分的一些性质，特别是基于条件A的一些变限积分极限的收敛性质不能简单的从表面形式上与定积分的可积性质进行比较，更不能因此错误的认为反常积分具有定积分所不具备的性质。定理1和定理2所表述的是两个毫不相关的对象的性质，把它们进行比较没有实质的意义，反而容易产生认知上的混淆。
二、瑕积分与定积分的定义与性质
瑕积分的定义与无穷积分有类似的特点。
dx是不存在的。仔细观察可以发现这主要是因为对任意的ε>0，G(x)在任一有限区间[0，1-ε]上不可积。我们从这个例子可以看到区间[a，b-ε]上的可积性条件的重要性。
从以上的论述我们可以认识到，不论是无穷积分还是瑕积分，它们都是定积分的推广。这两类积分的收敛性首先都要以某类有限区间上的可积性为前提，其次是要求积分上(下)限在某一趋势下的变限积分的极限存在。反常积分的一些性质，形式上看起来可以与定积分的某些性质进行比较，但是实际上这种比较是非常牵强的，甚至会混淆概念、模糊认知，因此，应该从定义出发，区分这些性质的异同，理解背后本质的原因，更加准确深刻地理解反常积分和定积分。
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.
[2]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2006.
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