十三、函数递归

时间：2022-10-13 09:06:10 其他范文收藏本文下载本文

以下是小编精心整理的十三、函数递归，本文共10篇，希望对大家有所帮助。

十三、函数递归

篇1：十三、函数递归

一、栈

在说函数递归的时候，顺便说一下栈的概念，

栈是一个后进先出的压入(push)和弹出(pop)式数据结构。在程序运行时，系统每次向栈中压入一个对象，然后栈指针向下移动一个位置。当系统从栈中弹出一个对象时，最近进栈的对象将被弹出。然后栈指针向上移动一个位置。程序员经常利用栈这种数据结构来处理那些最适合用后进先出逻辑来描述的编程问题。这里讨论的程序中的栈在每个程序中都是存在的，它不需要程序员编写代码去维护，而是由运行是系统自动处理。所谓的系统自动维护，实际上就是编译器所产生的程序代码。尽管在源代码中看不到它们，但程序员应该对此有所了解。

再来看看程序中的栈是如何工作的。当一个函数(调用者)调用另一个函数(被调用者)时，运行时系统将把调用者的所有实参和返回地址压入到栈中，栈指针将移到合适的位置来容纳这些数据。最后进栈的是调用者的返回地址。当被调用者开始执行时，系统把被调用者的自变量压入到栈中，并把栈指针再向下移，以保证有足够的空间存储被调用者声明的所有自变量。当调用者把实参压入栈后，被调用者就在栈中以自变量的形式建立了形参。被调用者内部的其他自变量也是存放在栈中的。由于这些进栈操作，栈指针已经移动所有这些局部变量之下。但是被调用者记录了它刚开始执行时的初始栈指针，以他为参考，用正或负的偏移值来访问栈中的变量。当被调用者准备返回时，系统弹出栈中所有的自变量，这时栈指针移动了被调用者刚开始执行时的位置。接着被调用者返回，系统从栈中弹出返回地址，调用者就可以继续执行了。当调用者继续执行时，系统还将从栈中弹出调用者的实参，于是栈指针回到了调用发生前的位置。

可能刚开始学的人看不太懂上面的讲解，栈涉及到指针问题，具体可以看看一些数据结构的书。要想学好编程语言，数据结构是一定要学的。

二、递归

递归，是函数实现的一个很重要的环节，很多程序中都或多或少的使用了递归函数。递归的意思就是函数自己调用自己本身，或者在自己函数调用的下级函数中调用自己。

递归之所以能实现，是因为函数的每个执行过程都在栈中有自己的形参和局部变量的拷贝，这些拷贝和函数的其他执行过程毫不相干。这种机制是当代大多数程序设计语言实现子程序结构的基础，是使得递归成为可能。假定某个调用函数调用了一个被调用函数，再假定被调用函数又反过来调用了调用函数。这第二个调用就被称为调用函数的递归，因为它发生在调用函数的当前执行过程运行完毕之前。而且，因为这个原先的调用函数、现在的被调用函数在栈中较低的位置有它独立的一组参数和自变量，原先的参数和变量将不受影响，所以递归能正常工作。程序遍历执行这些函数的过程就被称为递归下降。

程序员需保证递归函数不会随意改变静态变量和全局变量的值，以避免在递归下降过程中的上层函数出错。程序员还必须确保有一个终止条件来结束递归下降过程，并且返回到顶层。

例如这样的程序就是递归：

void a(int);

main

{

int num=5;

a(num);

}

void a(int num)

{

if(num==0) return;

printf(%d,num);

a(--num);

}

在函数a()里面又调用了自己，也就是自己调用本身，这样就是递归。那么有些人可能要想，这不是死循环吗？所以在递归函数中，一定要有return语句，没有return语句的递归函数是死循环。

我们分析上面的例子，先调用a(5)，然后输出5，再在函数中调用本身a(4)，接着回到函数起点，输出4，……，一直到调用a(0)，这时发现已经满足if条件，不在调用而是返回了，所以这个递归一共进行了5次，

如果没有这个return，肯定是死循环的。

虽然递归不难理解，但是很多在在使用递归函数的时候，问题多多。这里面一般有两个原因：一是如何往下递归，也就是不知道怎么取一个变量递归下去；二是不知道怎么终止递归，经常弄个死循环出来。

下面看几个例子：

1.求1+2+……+100的和

先分析一下。第一递归变量的问题，从题目上看应该取1,2,……,100这些变量的值作为递归的条件；第二就是如何终止的问题，从题目上看应该是当数为100的时候就不能往下加了。那么我们试着写一下程序。

int add(int);

main()

{

int num=1,sn;

sn=add(num);

printf(%dn,sn);

getch();

}

int add(int num)

{

static int sn;

sn+=num;

if(num==100) return sn;

add(++num);

}

分析一下程序：前调用add(1)，然后在子函数中把这个1加到sn上面。接着调用add(2)，再把sn加2上来。这样一直到100，到了100的时候，先加上来，然后发现满足了if条件，这时返回sn的值，也就是1+2+……+100的值了。

这里有一个问题一定要注意，就是static int sn;

有些人就不明白，为什么要使用static类型修饰符，为什么不使用int sn=0;？如果使用int sn=0;这样的语句，在每次调用函数add()的时候，sn的值都是赋值为0,也就是第一步虽然加了1上来，可是第二次调用的时候，sn又回到了0。我们前面说了，static能保证本次初始化的值是上次执行后的值，这样也就保证了前面想加的结果不会丢失。如果你修改为int sn=0，最后结果一定是最后的100这个值而不是5050。

2.求数列s(n)=s(n-1)+s(n-2)的第n项。其中s(1)=s(2)=1。

可以看出，终止条件一定是s(1)=s(2)=1。递归下降的参数一定是n。

int a(int);

main()

{

int n,s;

scanf(%d,&n);

s=a(n);

printf(%dn,s);

getch();

}

int a(int n)

{

if(n<3) return 1;

return a(n-1)+a(n-2);

}

这个题目主要说明的是，在函数中，不一定只有一个return语句，可以有很多，但是每次对归的时候只有一个起作用。题目不难理解，这儿不分析了。

说了这些递归，其实它和函数的调用没有大的区别，主要就是一个终止条件要选好。递归函数很多时候都能用循环来处理。

篇2：C++ 递归函数的详解

说到递归函数，就会想起递归的快速排序，

1.快速排序是什么呢？

快速排序的基本思想是：通过一趟快速排序，把待排记录分成两

个子序列，其中一个子系列中的记录都小于另一个子序列，然后，

分别对两个子序列进行快速排序。

可以看出，快速排序的核心就是划分子序列。

2.下面让我们了解一下递归函数快速排序的思想：

（1）将待排序的数据放入某数组中（如数组a[]）中，下标从 low 到 high；

（2）对数组进行如下操作：从数组中取一个元素值作为枢轴

记录（一般取第 0 号元素，即 a[0]），存入 key（一个变量）中；

（3）在数组 a 中，将 key 调整到适当位置，然后将比 key

大的元素都放在 key 的右边，比 key 小的数都放在 key

的左边。

（4）这一趟排序的结果是key 将原数组 a 分割成

了两个子数组，key 的左边的值都比key 小，右边的都比

key 大。

（5）此时，问题就成了如何都将这两个子数组进行排序的问题，显然

对这两个子数组调用上述方法即可，即进行递归调用上述方法，

直到排序完成。

（6）显然，通过上述过程，当我们处理完所有的元素时，最终结果

为：每个元素的左边的元素都不大于该元素，而右边的元素都不小

于该元素。

3.如何确定key的位置呢？

我们确定key的值后，利用 key 将数组 a 划分成两个子数组。

具体方法：

（1）取出数组的第 0 个元素，作为分界值放到 key 里，

即 key = a[0]; 此时，数组元素 a[0] 空闲，用一个左探针left

指示，即 left = 0；

（2）利用右探针 right 从右往左走，寻找小于 key 的元素，找到

后就将该元素的值放进 left 所指示的空闲位置，此时 right 所

指示位置成为空闲位置；

（3）让左探针 left 往右走，寻找比 key 大的元素，找到则将该

元素的值放进 right 所指示的空闲位置。此时 left 所指示位置

变为空闲；

（4）循环执行 2、3步，直到 right 不再大于 left为止（此时，

意味着将所有元素都与 key 进行了比较），

left 与 right 相遇的

地方就是 key 的位置。

具体的代码：

#include

void QuickSort( int a[], int low, int high);

void main()

{

int a[] = { 32, 8, 65, 18, 19, 12, 61 };

int i;

QuickSort(a, 0, 6);

for(i=0; i<7; i++)

printf(“%4d”, a[i]);

}

//QuickSort方法，实现函数的快速排序

void QuickSort( int a[], int low, int high)

{

int key;

int left, right;

// 若待排序列为空或仅有一个元素，则无需排序

if( low >= high ) return ;

// 1 将待排记录划分成两个子序列

// 1.1 选择序列中第一元素作为轴记录

key = a[low];

// 1.2 根据轴记录 key 将待排序列划分成两个子序列

left = low;

right = high;

while( left< right )

{

while( left= key)

right--; // right从后向前扫描，跳过“大”的元素

a[left] = a[right];// 遇到“小”元素，移动到前面去

while( left

left++; //left 从前向后扫描，跳过小于轴记录的元素

a[right] = a[left]; // 遇到“大”元素，移动到后面去

}

// 1.3 放置轴记录

a[left] = key;

// 2.对两个子序列分别进行快速排序

QuickSort(a, low, left-1);

QuickSort(a, left+1, high);

}

篇3：递归

递归的定义是：A function defined in terms of itself is called recursive. 也就是说一个函数的定义需要用到这个函数的本身，递归是一个很奇妙的思想，从上面的定义看去，递归貌似一个死循环，这个当然是不对的，递归总会有一个结束的条件，也就是基准情况，这个基准情况规定了递归什么时候结束。下面来看一个例子：

计算阶乘n! = n*(n-1)*...*1.

如果利用递归思想的话，我们可以发现factorial（n） = n！=n*factorial（n-1）；这就是一个递归的形式。

[cpp]

int factorial(int n)

{

if(n==1)

return 1;

else

return n*factorial(n-1);

}

代码的第二行与第三行就是处理的基准情形。这是由于这个基准情形，使得程序不会变为死循环而不停的递归，直至耗尽内存空间。

当然上面的情形也可以用迭代的方法来解决

[cpp]

int factorial(int n)

{

int element = 1;

int i;

for(i=2;i

element *=i;

}

递归和迭代这两种方法都可以解决上面的问题，而且在数学上的表示是一致的，那么这两者是否等价呢？答案肯定是不等价的，

一般来说递归的时间与空间消耗要大于迭代，但是递归的形式非常简单，代码形式非常优美。迭代相当于一个从前向后的过程，而递归是一个从后向前再向后的过程。

递归和迭代一般情况下是可以相互转换的，但是有些情况下，用迭代来替代递归是相当痛苦的，比如说数据结构的定义等等。

递归一般有如下几点需要注意：

1）基准情形：也就是递归停止的标志，这是递归所不能少的

2）不断推进：每一次递归，都要使问题朝着基准情形前进，否则是无法结束递归的

3）设计法则：假设所有的递归调用都能运行

4）合成效益法则：在不同的递归调用中解决同一个问题，不应该复制已有的工作。

篇4：php递归函数三种实现方法及如何实现数字累加

作者：DeanChopper 字体：[增加减小] 类型：

实现递归函数有哪些方法呢？如何用递归函数实现数字累加？这篇文章就主要介绍php递归函数三种实现方法及如何实现数字累加，需要的朋友可以参考下，

递归函数在编程中是比较常用的一类函数，其特点是函数自身可以调用自身，但是必须在调用自身前有条件判断，否则会导致无限调用下去。本文列出了三种递归函数实现方法，第一种利用引用做参数，第二种利用全局变量，第三种利用静态变量，理解此类问题需要有点基础，包括对全局变量，引用，静态变量的理解，也需对他们的作用范围有所理解。在这不废话了，具体介绍请看下文。

第一种方法：利用引用做参数

先不管引用做不做参数，必须先明白引用到底是什么？引用不过是指两个不同名的变量指向同一块存储地址。本来每个变量有各自的存储地址，赋值删除各行其道。

现在可好，两个变量共享一块存储地址。$a=&$b;。实际上指的是$a不管不顾自己原来的存储地址，非要和$b共享一室了。因而任何对存储地址数值的改变都会影响两个值。

函数之间本来也是各行其是，即便是同名函数。递归函数是考虑将引用作为参数，成为一个桥梁，形成两个函数间的数据共享。虽然两个函数见貌似操作的是不同地址，但是实际上操作的是一块儿内存地址。

代码如下:

function test($a=0,&$result=array){

$a++;

if ($a<10) {

$result[]=$a;

test($a,$result);

}

echo $a;

return $result;

}

上面的例子非常简答，以a<10作为判断条件，条件成立，则把a赋给result[];将result的引用传入函数，会将每一次递归产生的a添加到结果数组result。因而本例生成的$result数组是Array ( [0] => 1 [1] => 2 [2] => 3 [3] => 4 [4] => 5 [5] => 6 [6]=> 7[7] => 8 [8] => 9 ) 。

本例比较有意思的是echo a的值。相信很多人认为是12345678910吧，其实不然，是1098765432。为什么呢？因为函数还没执行echo a前就进行了下一次的函数递归。

真正执行echo a是当a<10条件不满足的时候，echo a,返回result,对于上一层而言，执行完递归函数，开始执行本层的echo $a,依次类推。

第二种方法：利用全局变量

利用全局变量完成递归函数，请确保你确实理解什么是全局变量。global在函数内申明变量不过是外部变量的同名引用。变量的作用范围仍然在本函数范围内。改变这些变量的值，外部同名变量的值自然也改变了。但一旦用了&，同名变量不再是同名引用。利用全局变量实现递归函数没必要理解到这么深的一层，还保持原有对全局变量的看法就可以顺理成章理解递归函数。

代码如下:

function test($a=0,$result=array()){

global $result;

$a++;

if ($a<10) {

$result[]=$a;

test($a,$result);

}

return $result;

}

第三种方法：利用静态变量

我们常常在类中见到static,今天我们把它利用到递归函数中，

请记住static的作用：仅在第一次调用函数的时候对变量进行初始化，并且保留变量值。

举个栗子：

代码如下:

function test(){

static $count=0;

echo $count;

$count++;

}

test();

请问这一段代码的执行结果是多少？是00000么？必然不是。是01234。首先第一次调用test(),static对$count进行初始化，其后每一次执行完都会保留$count的值,不再进行初始化，相当于直接忽略了static $count=0; 这一句。

因而将static应用到递归函数作用可想而知。在将需要作为递归函数间作为“桥梁“的变量利用static进行初始化，每一次递归都会保留”桥梁变量“的值。

代码如下:

function test($a=0){

static $result=array();

$a++;

if ($a<10) {

$result[]=$a;

test($a);

}

return $result;

}

总结

所谓递归函数，重点是如何处理函数调用自身是如何保证所需要的结果得以在函数间合理”传递“，当然也有不需要函数之间传值得递归函数，例如：

代码如下:

function test($a=0){

$a++;

if ($a<10) {

echo $a;

test($a);

}

下面通过一段代码演示一下php使用递归函数实现数字累加的方法。

代码如下所示：

代码如下:

<?php

function summation ($count) {

if ($count != 0) :

return $count + summation($count-1);

endif;

}

$sum = summation(10);

print ”Summation = $sum“;

面对php递归函数，不必要伤脑筋，深入的理解变量引用相关知识对解决此类问题很有帮助，以上内容就是php递归函数三种实现方法及如何实现数字累加的全部内容，希望对大家今后的学习有所帮助。

篇5：递归分形插值函数的计盒维数

递归分形插值函数的计盒维数

在文献[1,2]的基础上,讨论了更加一般的`递归分形插值函数问题,研究了其迭代函数系的构造方法,证明了这类递归分形插值函数图象的维数定理,增强了递归分形插值函数运用的灵活性和实用性.

作者：王伟冯志刚 WANG Wei FENG Zhi-gang 作者单位：江苏大学理学院,江苏,镇江,21 刊名：安徽工业大学学报（自然科学版） ISTIC英文刊名：JOURNAL OF ANHUI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY(NATURAL SCIENCE) 年，卷(期)： 26(2) 分类号：O175 关键词：递归分形插值函数维数关联矩阵

篇6：递归实现回文判断

递归实现回文判断

如：abcdedbca就是回文，判断一个面试者对递归理解的简单程序

int find(char *str, int n) {

if(n<=1) return 1;

else if(str[0]==str[n-1]) return find(str+1, n-2);

else return 0;

}

int main(int argc, char* argv[]) {

char *str = “abcdedcba”;

printf(“%s: %sn”, str, find(str, strlen(str)) ? “Yes” : “No”);

}

篇7：python递归小应用

__author__ = abcddic = { :, :, :{ :, :{:,:,:{ :, :{ :, :, :{:,:,:{} } }} } }}Serchabcd(name, dic, list_tmp=[]): i dic: dic[i] == name:list_tmp.append(name) (dic[i]) (dic[i]) != :Serchabcd(name, dic[i], list_tmp) (list_tmp), namecount, = Serchabcd(, abcddic)% (count, )

篇8：递归相关的的两道面试题

腾讯面试题：50个阶梯，你一次可以上一阶或两阶，走上去，共有多少种走法？

分析题目：

到第一层只有一种情况上一阶即可即为1

到第二层有两种情况11和2

到第三层有111、12、21三种情况

到第四层有1111、121、112、22、211吴种情况

...

要到第50层要么从48层上两阶到达或者从49层上一阶到达

f(50)=f(49)+f(48)

同理：f(49)=f(48)+f(47)

归纳得通式

f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n>=2)

解决递归：

1.找出递归终止的条件

2.找出递归关系式

#include#includedouble calc_upstairs_recursion(int n) //值比较大所以使用double{ if(n==1)//找出递归终止条件 { return 1; } else if(n ==2) { return 2; } else { return calc_upstairs_recursion(n-1)+calc_upstairs_recursion(n-2);//找出递归关系条件 }}double calc_upstairs_loop(int n){ double *tmp =NULL; double sum = 0; int i; if(n<=2)www.2cto.com { return n; } tmp =(double *)malloc(sizeof(double)*n); tmp[0]= 1; tmp[1] = 2; for( i=2;i2.给定个数组：int a[10]= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};使用递归来判断数组a是否为递增序列？

1.找出递归终止的条件

2.找出递归关系式

#include#includeint” is_increaseint=“is_increase(int” lengthint=“length,int” lt=“);}}<” mainnbspnbspnbspint=“main{ int” nbspnbspnbspnbspnbspnbspelsenbspnbspnbspnbspnbspnbspnbspnbspnbspprintf=“); } else { printf(” nbspnbspnbspnbspnbspnbspsystem=“); } system(” pause=“pause” pdatanbspnbspnbspifstart_pos=“=length-2)” pdatastart_pos1gtpdatastart_posis_increasestart_pos1lengthpdata=“pdata[start_pos+1]>pdata[start_pos]&&is_increase(start_pos+1,length,pdata);” pdatastart_pos1gtpdatastart_posnbspnbspnbspnbspnbspnbspnbspnbspnbspreturn=“pdata[start_pos+1]>pdata[start_pos]; } return” pre=“pre” res=“is_increase(0,10,a); if(res” start_posint=“start_pos,int” stdio.hgt=“stdio.h><” stdlib.hgtlt=“stdlib.h><” 不是递增的n=“不是递增的n” 是递增的n=“是递增的n” 递归关系void=“递归关系}void” 递归结束的条件nbspnbspnbspnbspnbspnbspnbspnbspnbspreturn=“递归结束的条件 { return”>

篇9：函数

教学目标

1．理解的概念，了解的三种表示法，会求的定义域．

（1）了解是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射．能理解是由定义域，值域，对应法则三要素构成的整体．

（2）能正确认识和使用的三种表示法：解析法，列表法，和图象法．了解每种方法的优点．

（3）能正确使用“区间”及相关符号，能正确求解各类的定义域．

2．通过概念的学习，使学生在符号表示，运算等方面的能力有所提高．

（1）对记号有正确的理解，准确把握其含义，了解 ( 为常数)与的区别与联系；

（2）在求定义域中注意运算的合理性与简洁性．

3．通过定义由变量观点向映射观点的过渡，是学生能从发展的角度看待数学的学习．

教学建议

1．教材分析

（1）知识结构

（2）重点难点分析

本小节的重点是在映射的基础上理解的概念．，主要包括对的定义，表示法，三要素的作用的理解与认识．教学难点是的定义和符号的认识与使用．

①由于学生在初中已学习了的变量观点下的定义，并具体研究了几类最简单的，对并不陌生，所以在高中重新定义时，重要的是让学生认识到它的优越性，它从根本上揭示了的本质，由定义域，值域，对应法则三要素构成的整体，让学生能主动将与解析式区分开来．对这一点的认识对于后面的性质的研究都有很大的帮助．

②在本节中首次引入了抽象的符号，学生往往只接受具体的解析式，而不能接受，所以应让学生从符号的含义认识开始，在符号中，在法则下对应，不是与的乘积，符号本身就是三要素的体现．由于所代表的对应法则不一定能用解析式表示，故表示的方法除了解析法以外，还有列表法和图象法．此外本身还指明了谁是谁的，有利于我们分清解析式中的常量与变量．如，它应表示以为自变量的二次，而如果写成，则我们就不能准确了解谁是变量，谁是常量，当为变量时，它就不代表二次．

2．教法建议

（1）高中对内容的学习是初中内容的深化和延伸．深化首先体现在的定义更具一般性．故教学中可以让学生举出自己熟悉的例子，并用变量观点加以解释，教师再给出如：是不是的问题，用变量定义解释显得很勉强，而如果从集合与映射的观点来解释就十分自然，所以有重新认识的必要．

（2）对是三要素构成的整体的认识，一方面可以通过对符号的了解与使用来强化，另一方面也可通过判断两个是否相同来配合．在这类题目中，可以进一步体现出三要素整体的作用．

（3）关于对分段的认识，首先它的出现是一种需要，可以给出一些实际的例子来说明这一点，对自变量不同取值，用不同的解析式表示同一个关系，所以是一个而不是几个，其次还可以举一些数学的例子如这样的，若利用绝对值的定义它就可以写成，这就是一个分段，从这个题中也可以看出分段是一个．

教学设计方案

2.2

教学目标：

1．理解的概念，了解三要素．

2．通过对抽象符号的认识与使用，使学生在符号表示方面的能力得以提高．

3．通过定义由变量观点向映射观点得过渡，使学生能从发展与联系的角度看待数学学习．

教学重点难点：重点是在映射的基础上理解的概念；

难点是对抽象符号的认识与使用．

教学用具：投影仪

教学方法：自学研究与启发讨论式．

教学过程：

一、复习与引入

今天我们研究的内容是的概念．并不象前面学习的集合，映射一样我们一无所知，而是比较熟悉，所以我先找同学说说对的认识，如是什么?学过什么?

(要求学生尽量用自己的话描述初中的定义，并试举出各类学过的例子)

学生举出如等，待学生说完定义后教师打出投影片，给出定义之后教师也举一个例子，问学生．

提问1．是吗?

(由学生讨论，发表各自的意见，有的认为它不是，理由是没有两个变量，也有的认为是，理由是可以可做．)

教师由此指出我们争论的焦点，其实就是定义的不完善的地方，这也正是我们今天研究定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化．

二、新课

现在请同学们打开书翻到第50 页，从这开始阅读有关的内容，再回答我的问题．(约2-3分钟或开始提问)

提问2．新的的定义是什么?能否用最简单的语言来概括一下．

学生的回答往往是把书上的定义念一遍，教师可以板书的形式写出定义，但还要引导形式发现定义的本质．

(板书)2．2

一、的概念

1．定义：如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射就叫做A到B的，记作．其中原象集合A称为定义域，象集C 称为值域．

问题3：映射与有何关系?(一定是映射吗?映射一定是吗?)

引导学生发现，是特殊的映射，特殊在集合A，B必是非空的数集．

2．本质：是非空数集到非空数集的映射．(板书)

然后让学生试回答刚才关于是不是的问题，要求从映射的角度解释．

此时学生可以清楚的看到满足映射观点下的定义，故是一个，这样解释就很自然．

教师继续把问题引向深入，提出在映射的观点下如何解释是个?

从映射角度看可以是其中定义域是，值域是．

从刚才的分析可以看出，映射观点下的定义更具一般性，更能揭示的本质．这也是我们后面要对进行理论研究的一种需要．所以我们着重从映射角度再来认识．

3．的三要素及其作用(板书)

是映射，自然是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个时，应从这三方面去了解认识它．

例1以下关系式表示吗?为什么?

(1) ； (2) ．

解：(1)由有意义得，解得．由于定义域是空集，故它不能表示．

(2) 由有意义得，解得．定义域为，值域为．

由以上两题可以看出三要素的作用

(1)判断一个关系是否存在．(板书)

例2下列各中，哪一个与是同一个．

(1) ； (2) (3) ； (4) ．

解：先认清，它是 (定义域)到 (值域)的映射，其中

．

再看(1)定义域为且，是不同的； (2)定义域为，是不同的；

(4) ，法则是不同的；

而(3)定义域是，值域是，法则是乘2减1，与完全相同．

求解后要求学生明确判断两个是否相同应看定义域和对应法则完全一致，这时三要素的又一作用．

(2)判断两个是否相同．（板书）

下面我们研究一下如何表示，以前我们学习时虽然会表示，但没有相系统研究的表示法，其实表示法有很多，不过首先应从记号说起．

4．对符号的理解(板书)

首先让学生知道与的含义是一样的，它们都表示是的，其中是自变量，是值，连接的纽带是法则，所以这个符号本身也说明是三要素构成的整体．下面我们举例说明．

例3已知试求 (板书)

分析：首先让学生认清的含义，要求学生能从变量观点和映射观点解释，再进行计算．

含义1：当自变量取3时，对应的值即；

含义2：定义域中原象3的象，根据求象的方法知．而应表示原象的象，即．

计算之后，要求学生了解与的区别，是常量，而是变量，只是中一个特殊值．

最后指出在刚才的题目中是用一个具体的解析式表示的，而以后研究的不一定能用一个解析式表示，此时我们需要用其他的方法表示，具体的方法下节课再进一步研究．

三、小结

1. 的定义

2. 对三要素的认识

3. 对符号的认识

四、作业：略

五、板书设计

2．2 例1．例3．

一. 的概念

1. 定义

2. 本质例2．小结：

3. 三要素的认识及作用

4. 对符号的理解

探究活动

在数学及实际生活中有着广泛的应用，在我们身边就存在着很多与有关的问题如在我们身边就有不少分段的实例，下面就是一个生活中的分段．

夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的重量相关．某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0．4元．6斤以上9斤以下，每斤0．5元，9斤以上，每斤0．6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧，可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我钱，当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．

同学们，你知道顾客是怎样店主坑人了呢?其实这样的数学问题在我们身边有很多，只要你注意观察，积累，并学以至用，就能成为一个聪明人，因为数学可以使人聪明起来．

答案：

若西瓜重9斤以下则最多应付4.5元,若西瓜重9斤以上,则最少也要5.4元,不可能出现5.1元这样的价钱,所以店主坑人了．

篇10：函数

函数

教学目标

1．理解函数的概念，了解函数的三种表示法，会求函数的定义域．

（1）了解函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射．能理解函数是由定义域，值域，对应法则三要素构成的整体．

（2）能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法，和图象法．了解每种方法的优点．

（3）能正确使用“区间”及相关符号，能正确求解各类函数的定义域．

2．通过函数概念的学习，使学生在符号表示，运算等方面的能力有所提高．

（1）对函数记号有正确的理解，准确把握其含义，了解 ( 为常数)与的区别与联系；

（2）在求函数定义域中注意运算的合理性与简洁性．

3．通过函数定义由变量观点向映射观点的过渡，是学生能从发展的角度看待数学的学习．

教学建议

1．教材分析

（1）知识结构

（2）重点难点分析

本小节的重点是在映射的基础上理解函数的概念．，主要包括对函数的定义，表示法，三要素的作用的理解与认识．教学难点是函数的定义和函数符号的认识与使用．

①由于学生在初中已学习了函数的变量观点下的定义，并具体研究了几类最简单的函数，对函数并不陌生，所以在高中重新定义函数时，重要的是让学生认识到它的优越性，它从根本上揭示了函数的本质，由定义域，值域，对应法则三要素构成的整体，让学生能主动将函数与函数解析式区分开来．对这一点的认识对于后面函数的性质的研究都有很大的帮助．

②在本节中首次引入了抽象的函数符号，学生往往只接受具体的函数解析式，而不能接受，所以应让学生从符号的含义认识开始，在符号中，在法则下对应，不是与的乘积，符号本身就是三要素的体现．由于所代表的对应法则不一定能用解析式表示，故函数表示的方法除了解析法以外，还有列表法和图象法．此外本身还指明了谁是谁的函数，有利于我们分清函数解析式中的常量与变量．如，它应表示以为自变量的二次函数，而如果写成，则我们就不能准确了解谁是变量，谁是常量，当为变量时，它就不代表二次函数．

2．教法建议

（1）高中对函数内容的学习是初中函数内容的深化和延伸．深化首先体现在函数的定义更具一般性．故教学中可以让学生举出自己熟悉的函数例子，并用变量观点加以解释，教师再给出如：是不是函数的问题，用变量定义解释显得很勉强，而如果从集合与映射的观点来解释就十分自然，所以有重新认识函数的必要．

（2）对函数是三要素构成的整体的认识，一方面可以通过对符号的了解与使用来强化，另一方面也可通过判断两个函数是否相同来配合．在这类题目中，可以进一步体现出三要素整体的作用．

（3）关于对分段函数的认识，首先它的出现是一种需要，可以给出一些实际的例子来说明这一点，对自变量不同取值，用不同的解析式表示同一个函数关系，所以是一个函数而不是几个函数，其次还可以举一些数学的例子如这样的函数，若利用绝对值的定义它就可以写成，这就是一个分段函数，从这个题中也可以看出分段函数是一个函数．

教学设计方案

2.2 函数

教学目标：

1．理解函数的概念，了解函数三要素．

2．通过对函数抽象符号的认识与使用，使学生在符号表示方面的能力得以提高．

3．通过函数定义由变量观点向映射观点得过渡，使学生能从发展与联系的角度看待数学学习．

教学重点难点：重点是在映射的基础上理解函数的概念；

难点是对函数抽象符号的认识与使用．

教学用具：投影仪

教学方法：自学研究与启发讨论式．

教学过程：

一、复习与引入

今天我们研究的内容是函数的概念．函数并不象前面学习的集合，映射一样我们一无所知，而是比较熟悉，所以我先找同学说说对函数的认识，如函数是什么?学过什么函数?

(要求学生尽量用自己的话描述初中函数的定义，并试举出各类学过的函数例子)

学生举出如等，待学生说完定义后教师打出投影片，给出定义之后教师也举一个例子，问学生．

提问1．是函数吗?

(由学生讨论，发表各自的意见，有的认为它不是函数，理由是没有两个变量，也有的认为是函数，理由是可以可做．)

教师由此指出我们争论的焦点，其实就是函数定义的不完善的地方，这也正是我们今天研究函数定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化．

二、新课

现在请同学们打开书翻到第50 页，从这开始阅读有关的内容，再回答我的问题．(约2-3分钟或开始提问)

提问2．新的函数的定义是什么?能否用最简单的语言来概括一下．

学生的回答往往是把书上的定义念一遍，教师可以板书的形式写出定义，但还要引导形式发现定义的本质．

(板书)2．2函数

一、函数的概念

1．定义：如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射就叫做A到B的函数，记作．其中原象集合A称为定义域，象集C 称为值域．

问题3：映射与函数有何关系?(函数一定是映射吗?映射一定是函数吗?)

引导学生发现，函数是特殊的映射，特殊在集合A，B必是非空的数集．

2．本质：函数是非空数集到非空数集的映射．(板书)

然后让学生试回答刚才关于是不是函数的问题，要求从映射的角度解释．

此时学生可以清楚的看到满足映射观点下的函数定义，故是一个函数，这样解释就很自然．

教师继续把问题引向深入，提出在映射的观点下如何解释是个函数?

从映射角度看可以是其中定义域是，值域是．

从刚才的分析可以看出，映射观点下的函数定义更具一般性，更能揭示函数的本质．这也是我们后面要对函数进行理论研究的一种需要．所以我们着重从映射角度再来认识函数．

3．函数的三要素及其作用(板书)

函数是映射，自然是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它．

例1以下关系式表示函数吗?为什么?

(1) ； (2) ．

解：(1)由有意义得，解得．由于定义域是空集，故它不能表示函数．

(2) 由有意义得，解得．定义域为，值域为．

由以上两题可以看出三要素的作用

(1)判断一个函数关系是否存在．(板书)

例2下列各函数中，哪一个函数与是同一个函数．

(1) ； (2) (3) ； (4) ．

解：先认清，它是 (定义域)到 (值域)的映射，其中

．

再看(1)定义域为且，是不同的； (2)定义域为，是不同的；

(4) ，法则是不同的；

而(3)定义域是，值域是，法则是乘2减1，与完全相同．

求解后要求学生明确判断两个函数是否相同应看定义域和对应法则完全一致，这时三要素的'又一作用．

(2)判断两个函数是否相同．（板书）

下面我们研究一下如何表示函数，以前我们学习时虽然会表示函数，但没有相系统研究函数的表示法，其实表示法有很多，不过首先应从函数记号说起．

4．对函数符号的理解(板书)

首先让学生知道与的含义是一样的，它们都表示是的函数，其中是自变量，是函数值，连接的纽带是法则，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体．下面我们举例说明．

例3已知函数试求 (板书)

分析：首先让学生认清的含义，要求学生能从变量观点和映射观点解释，再进行计算．

含义1：当自变量取3时，对应的函数值即；

含义2：定义域中原象3的象，根据求象的方法知．而应表示原象的象，即．

计算之后，要求学生了解与的区别，是常量，而是变量，只是中一个特殊值．

最后指出在刚才的题目中是用一个具体的解析式表示的，而以后研究的函数不一定能用一个解析式表示，此时我们需要用其他的方法表示，具体的方法下节课再进一步研究．

三、小结

1. 函数的定义

2. 对函数三要素的认识

3. 对函数符号的认识

四、作业：略

五、板书设计

2．2函数例1．例3．

一. 函数的概念

1. 定义

2. 本质例2．小结：

3. 函数三要素的认识及作用

4. 对函数符号的理解

探究活动

函数在数学及实际生活中有着广泛的应用，在我们身边就存在着很多与函数有关的问题如在我们身边就有不少分段函数的实例，下面就是一个生活中的分段函数．

答案：

若西瓜重9斤以下则最多应付4.5元,若西瓜重9斤以上,则最少也要5.4元,不可能出现5.1元这样的价钱,所以店主坑人了．

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