以下是小编整理的函数与不等式问题的解题技巧，本文共6篇，希望能够帮助到大家。
篇1：函数与不等式问题的解题技巧
【命题趋向】
全国高考数学科《考试大纲》为走向高考的莘莘学子指明了复习备考的方向.考纲是考试法典,是命题的依据,是备考的总纲.科学备考的首要任务,就是要认真学习、研究考纲.对照考纲和高考函数试题有这样几个特点:
1.通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象.
2.在解答题的考查中,与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现.
3.从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查.
4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的.
5.涌现了一些函数新题型.
6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题,而且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导.
函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分.
1.在选择题中会继续考查比较大小,可能与函数、方程、三角等知识结合出题.
2.在选择题与填空题中注意不等式的解法建立不等式求参数的取值范围,以及求最大值和最小值应用题.
3.解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法.
分值在27---32分之间,一般为2个选择题,1个填空题,1个解答题.
【考点透视】
1.了解映射的概念,理解函数的概念.
2.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法,并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程.
3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数.
4.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质.
5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质.
6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
7.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上,掌握其它的一些简单不等式的解法.通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力.
8.掌握解不等式的基本思路,即将分式不等式、绝对值不等式等不等式,化归为整式不等式(组),会用分类、换元、数形结合的方法解不等式.
9.通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题.
10.通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力.
11.能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题.
12.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识.
篇2：函数法证明不等式
函数法证明不等式
已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足0
<1>证明 0
<2>证明an+1<(1/6)×(an)^3
它提示是构造一个函数然后做差求导，确定单调性。可是还是一点思路都没有，各位能不能给出具体一点的解答过程啊?
(1)f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx
00,f(x)是增函数,f(0)
因为0
且an+1=an-sinan
(2)求证不等式即(1/6)an^3-an+1=(1/6)an^3-an+sinan>0①
构造函数g(x)=(1/6)x^3-x+sinx(0
g''(x)=x-sinx,由(1)知g''(x)>0,所以g'(x)单增,g'(x)>g'(0)=0
所以g(x)单增且g(x)>g(0)=0,故不等式①成立
因此an+1<(1/6)×(an)^3 成立。
证毕!
构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式
【例1】证明不等式：≥ (人教版教材P23T4)
证明：构造函数f(x)= (x≥0)
则f(x)==1-在上单调递增
∵f(|a| + |b|)= f(|a + b|)=且|a| + |b|≥|a + b|
∴f(|a| + |b|)≥f(|a + b|) 即所证不等式正确。
点评：本题还可以继续推广。如：求证：≥。利用分式函数的'单调性可以证明的教材中的习题还有很多，如：
P14第14题：已知c>a>b>0,求证:
P19第9题: 已知三角形三边的长是a，b，c，且m是正数，求证：
P12例题2:已知a，b，m，都是正数，且a 二、利用分式函数的奇偶性证明不等式
篇3：函数法证明不等式
证明：构造函数f(x)=
∵f(-x)=
=f(x)
∴f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称。
当x>0时，<0，f(x)<0;
当x<0时，-x>0,故f(x)=f(-x)<0
∴<0，即
三、构造一次函数，利用一次函数的单调性证明不等式
【例3】已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：a + b + c 证明：构造函数f(c)=(1-ab)c + a + b-2
∵|a|<1，|b|<1
∴-10
∴f(c)的(-1，1)上是增函数
∵f(1)=1-ab + a + b -2=a + bCab -1=a(1 - b)-(1 - b)=(1 - b)(a -1)<0
∴f(1)<0，即(1-ab)c + a + b-2<0
∴a + b + c 。
篇4：构造函数证明不等式
构造函数证明不等式
构造函数证明不等式构造函数证明:[2的平方/(2的平方-1)*3的平方/(3的平方-1)*...*n的.平方/(n的平方-1)]>e的(4n-4)/6n+3)次方
不等式两边取自然对数(严格递增)有:
ln(2^2/2^2-1)+ln(3^2/3^2-1)+...+ln(n^2/n^2-1)>(4n-4)/(6n+3)
不等式左边=2ln2-ln1-ln3+2ln3-ln2-ln4+...+2lnn-ln(n-1)-ln(n+1)
=ln2-ln1+lnn-ln(n+1)=ln[n^2/(n+1)]
构造函数f(x)=ln[x^2/(x+1)]-(4x-4)/(6x+3)
对f(x)求导,有:f'(x)=[(x+2)/x(x+1)]+[1/(x+1/2)]^2
当x>2时,有f'(x)>0有f(x)在x>2时严格递增从而有
f(n)>=f(2)=ln(4/3)-4/15=0.02>0
即有ln[n^2/(n+1)]>(4n-4)/(6n+3)
原不等式等证
【解】：
∏{n^2/(n^2-1)}[n≥2] >e^((4n-4)/(6n+3))
∵n^2/(n^2-1)=n^2/(n+1)(n-1)
∴∏{n^2/(n^2-1)}[n≥2] = 2n/(n+1)
原式可化简为：2n/(n+1) >e^((4n-4)/6n+3))
构建函数：F(n)=2n/(n+1)-e^((4n-4)/(6n+3))
其一阶导数F’(n)={2-4e^((4n-4)/(6n+3))}/(n+1)^2
∵e^((4n-4)/(6n+3))
∴F’(n)>0 [n≥2]
而F[2]=4/(2+1)-e^((8-4)/(12+3))=4/3-e^(4/15)>0
所以F(n)>0 [n≥2]
即：2n/(n+1) >e^((4n-4)/6n+3))
故得证。
一、结合勘根定理，利用判别式“△”的特点构造函数证明不等式
例1 若a,b,c∈R，且a≠0，又4a+6b+c>0，a-3b+c<0.
求证：9b2>4ac.
证明 构造函数f(x),设f(x)=ax2+3bx+c(a≠0)，
由f(2)=4a+6b+c>0，
f(-1)=a-3b+c<0，
根据勘根定理可知：f(x)在区间(-1,2)内必有零点.
又f(x)为二次函数，由勘根定理结合可知：
f(x)必有两个不同的零点.
令ax2+3bx+c=0可知△=(3b)2-4ac>0,
所以可得：9b2>4ac.命题得证.
评析 本题合理变换思维角度，抓住问题本质，通过构造二次函数,将所要证明的结论转化成判别式“△”的问题,再结合勘根定理和二次函数知识，从而使问题获得解决.
二、结合构造函数的单调性证明不等式
例2 (人教A版《选修4-5不等式选讲》例题改编)已知a,b,c是实数，求证：
|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|.
证明 构造函数f(x)，设f(x)=x1+x(x≥0).
由于f′(x)=1(1+x)2,所以结合导数知识可知f(x)在[0，+∞)上是增函数.
∵0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|,
∴f(|a+b+c|)≤f(|a|+|b|+|c|),
即|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|1+|a|+|b|+|c|=|a|1+|a|+|b|+|c|+|b|1+|a|+|b|+|c|+|c|1+|a|+|b|+|c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|.命题得证.
三、结合构造函数在某个区间的最值证明不等式
例3 (第36届IMO试题)
设a,b,c为正实数，且满足abc=1,求证:
1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.
证明 构造函数，设f(a,b,c)=1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b),显然a=b=c=1时，f(a,b,c)=32≥32成立.
又abc=1，a,b,c为正实数，则a,b,c中必有一个不大于1，不妨设0f(a,b,c)-f(a,1,c)=(1-b)1a3(b+c)(1+c)+1+b+b2b3(a+c)+1c3(a+b)(1+a)≥0,
∴f(a,b,c)≥f(a,1,c)，
因此要证f(a,b,c)≥32，只要证f(a,1,c)≥32，此时ac=1，
∴a,1,c成等比数列，令a=q-1，c=q(q>0).
f(a,1,c)=q31+q+qq2+1+1q2(1+q)?
=q5+1q2(1+q)+qq2+1?
=(q4+1)-(q3+q)+q2q2+qq2+1?
=(q2+q-2)-(q+q-1)+1q+q-1+1?
=t2-t+1t-1.(其中t=q+q-1，且t≥2).
由导数知识(方法同例2、例3)可知函数
f(a,1,c)=t2-t+1t-1(t≥2)是增函数，
当且仅当t=2?q=1?a=c=1时，
(f(a,1,c))min=22-2+12-1=32成立，
∴f(a,1,c)≥32.
故f(a,b,c)≥f(a,1,c)≥32.命题得证。
篇5：数学二次函数解题技巧
画出图示教形结合。
函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量"。函数自产生就和图形结下了不解之缘。其实，我们现在研究函数也要依据函数的图像，由图像看性质、由性质看图像，无论是函数概念还是性质的教学都离不开图像，都需要图像的支撑，因为函数和它的图像是分不开的一个整体。所以函数知识的教学中，教师一定要帮助学生养成未解题，先作图的习惯，函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作
通过计算机演绎各种函数的变化过程，使学生从直观状态下，发现函数的各种性质，并且，强烈的视觉效果引发的学习积极性，可以使记忆保持得更持久。函数概念的教学过程中，在教学方式的选择上除了重点之处教师必不可少地讲解之外，而对于学生容易认识不清的地方，教师可以创设适当的情境后，让学生采用合作学习的方式，进行充分的交流与讨论，凸现出问题，以便能及时发现学生思想上的错误认识，澄清是非，帮助学生更好地学习和理解函数。
关注函数模型解题。
在利用数学解答实际问题的教学中，我们在进行行之有效的训练，并掌握各种类型问题的基础上，应及时总结应用问题与数学问题的联系，归纳其归属哪类问题。例如现实生活中，广泛存在的用料最省，造价最低，利润最大等最优化问题归于函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。
当然初中学生现有的水平还很低，但可以通过与生活的结合，让学生充分领会到函数在实践中的作用，就能激发学生的学习兴趣，对以后的数学学习会有一个好的导向。教师在学科融合过程中，应该处理好特定学科领域知识之间的整合，对几类知识进行再组织，从教育规律出发对学科内容进行的融合，旨在解决如何教的问题。同时通过对知识的再组织，不断提高教师对教育的认识，这本身也是不断发展、螺旋式上升的过程。
篇6：数学二次函数解题技巧
数形结合
数形结合的方法，就是将数字与图形二者进行相互变换，不仅可以把问题变得更加简单，而且可以把抽象的问题变得更加具体，这种方法在数学的学习过程中经常用到. 通过对二次函数的定义以及性质进行学习，我们了解到它的图像是一个抛物线，并且它的图像还具有非常多的特殊性
例如，它具有对称性、单调性等等，我们在对二次函数求解的过程中，可以充分地利用它的图像所具有的这些性质，它不仅可以把复杂的二次函数变得更加的简单，而且可以把二次函数变得更加直观. 抛物线具有的对称性是一个非常重要的解题思路. 二次函数图像的对称轴一般与y轴平行或者重合;它的另一大特性是连续性，并且与其对应的方程最多只能够有两个实根，因此就会产生一个区间，这可以为我们的解题带来很多方便. 在解题的过程中还可以利用二次函数的单调性，这也是经常用到的方法.
代数推理
众所周知，二次函数的函数式是y = ax2 + bx + c，观察其函数式非常的简单，而与其对应的抛物线图像却比较容易发生变形，例如，在其中会有一般式、顶点式以及零点式等等，因此，在解决二次函数问题的过程中，其函数式会得到非常广泛的应用. 在二次函数的函数式y = ax2 + bx + c中，具有三个变量a，b，c，在确定这三个变量时一定要给出三个相互独立的条件，有一些时候将所给出的条件全部应用完成之后还不能够得出三个变量的值，这时我们就要使用逆向思维，看给出的条件中是否含有隐含条件，我们不能够被其中的假象迷惑;
我们还应该学会利用二次函数与方程根之间具有的关系，写出它的顶点式，我们可以对二次函数进行假设，对其图像进行描绘;然后使用函数所具有的一些性质对其进行限制，并且在对顶点式进行运用的过程中要非常的灵活. 顶点式看着比较复杂，而其中最简单的就是它，在此过程中充分的利用顶点式，最后一定会找到答案.
3初中数学二次函数教学新思路
培养兴趣
众所周知，数学是一门系统的、抽象的、需要较强逻辑思维的学科，它的这些特点也要求了学习该学科的学生需要有较强的逻辑思维.但是，数学又是我们初中学习中三门主要课程之一，不可否认，数学是其中最重要的学科，是每名学生的必学课程，同时也是初中考试的必考科目.教师可以通过培养学生对二次函数的学习兴趣，来提高初中数学二次函数的教学效果，通过学生对学习二次函数课程的高积极性
使其在课堂教学时积极地配合教师的教学，集中精力跟随教师的上课进度，积极思考教师上课时提出的问题.在初中数学二次函数的教学过程中，经常会出现教师在讲台上侃侃而谈，下面的学生却昏昏欲睡，像二次函数这样涉及大量计算和分析的科目，对于学生的接受能力来说是较难的，因此，许多学校在对二次函数进行教学讲解时出现了严重的两极化现象，有些成绩好、理解能力好的学生，上课认真听讲，认为二次函数的学习是极具挑战性的，但是对于有些本身成绩差、接受能力较弱的学生来说，二次函数是他们根本听不懂的内容，根本没有学习的必要，反正他们也听不懂.
二次函数形象化
二次函数的学习过程是一个非常抽象的教学过程，正因其抽象性和逻辑性，使得学生在二次函数的学习上很难接受和掌握，为了学生能够很好地学习和掌握二次函数，二次函数教学形象化是一个很重要的教学方式.
数学教师在进行二次函数教学过程中可以充分利用二次函数的图像讲解其基本性质，将抽象化的理论知识用实际图像来表述，便于学生的理解和想象.同时，在对二次函数进行教学时，我们还要合理地利用图像教学的优势，将其具体化，每当遇到二次函数求解时，首先根据函数方程式画一个简易的草图，培养学生画图的好习惯，通过自己所画的二次图像真正地了解二次函数，并利用其解决问题.
4初中数学二次函数性质和运用
运用平行线造就同底等高的三角形等积
问题3 如图3点A坐标(2，4)，直线x=2交x轴于点B，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，交x=2于点P，顶点M(m，n)到达A点时停止移动.当m为何值时，线段PB最短?此时相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
此题中第一问可以先由A点坐标和坐标原点求出直线OA的解析式，进而用m表示出n，进而求出抛物线y=x2平移到M点后的新坐标式，再令新坐标式中x=2，求出P点纵坐标的表达式(含有m)，视为m的函数，m∈[0，2]时，求出何时PB最短;难点是在第二问，在解决第二问之前，必须定性判断出若Q点存在，那么如何首先以几何方式寻找出Q点的位置，并根据几何特征采用相应的推理或计算步骤?如图示，可以将直线PA左右平移，假设平移后与抛物线的交点为D且D、M与直线x=2水平距离相等，那么△DAP与△MAP同底(底为AP)等高，必然等积，所以D点即所求之一;同理，可以将直线AM平移，设平移后与抛物线交于E且E点与P点到AM等距，则△EAM与△PAM同底等高(底为AM)等积，E点也为所求;又或同理，可以将直线MP平移，设平移后与抛物线交于F且F点与A点到AM等距，则F点还为所求. 一旦寻求到解决的思路，则问题迎刃而解.
充分运用双曲线上的动点及其在坐标轴上的投影、坐标原点三点组成的三角形定积
双曲线与二次函数结合的问题在近年中考中屡见不鲜，充分运用双曲线y=(a>0)上的动点及其在坐标轴上的投影、坐标原点三点组成的三角形定积，这个定积就是双曲线对应的反比例函数解析式中的定值的一半，在一些问题中成为解决难点的关键.
已知抛物线y=ax2+b与双曲线交于C点，连接CO，动点P从O点出发，沿OA向A点移动，作PM交抛物线的对称轴于M点，已知△OMP的面积S与P点的坐标x关系为S=4x2，当△OMP与△OMC全等时，S=16， 且此时DM为OD的，试求抛物线的解析式.
初中数学二次函数解题技巧
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